Una ecuación matricial es una ecuación donde la incógnita es una matriz.Para resolver una ecuación matricial se transforma la ecuación inicial en otra equivalente usando las propiedades de las matrices. Es muy importante tener en cuenta que las matrices no son conmutativas, por ello, si se quiere multiplicar una ecuación por determinada matriz hay que hacerlo en ambos términos de la igualdad por el mismo sitio.Supongamos que tenemos la ecuación matricial A·X=B-C, esta ecuación tendrá solución si A es invertible. Multiplicamos a la izquierda por A-1 quedando A-1A·X=A-1(B-C) de ahí se deduce que X=A-1(B-C). Veamoslo con matrices
Sean las matrices Resuelve la ecuación A·X=B-CPor el razonamiento anterior X=A-1(B-C)Calculamos la inversa de A

Regla de Cramer
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La regla de Cramer es un teorema en álgebra lineal, que da la solución de un sistema lineal de ecuaciones en términos de determinantes. Recibe este nombre en honor a Gabriel Cramer (1704 - 1752), quien publicó la regla en su Introduction à l'analyse des lignes courbes algébriques de 1750, aunque Colin Maclaurin también publicó el método en su Treatise of Geometry de 1748 (y probablemente sabía del método desde 1729).[1]
La regla de Cramer es de importancia teórica porque da una expresión explícita para la solución del sistema.
Computacionalmente, es ineficiente para grandes matrices y por ello no es usado en aplicaciones prácticas que pueden implicar muchas ecuaciones. Sin embargo, como no es necesario pivotar matrices, es más eficiente que la eliminación gaussiana para las matrices pequeñas, particularmente cuando son usadas operaciones SIMD.
Si es un sistema de ecuaciones. A es la matriz de coeficientes del sistema, es el vector columna de las incógnitas y es el vector columna de los términos independientes. Entonces la solución al sistema se presenta así:
donde Aj es la matriz resultante de remplazar la j-ésima columna de A por el vector columna b. Hágase notar que para que el sistema sea compatible determinado, el determinante de la matriz A ha de ser no nulo.

OPERACIONES CON MATRICES

Suma de Matrices
Dadas las matrices m-por-n A y B, su suma A + B es la matriz m-por-n calculada sumando los elementos correspondientes (i.e. (A + B)[i, j] = A[i, j] + B[i, j] ). Es decir, sumar cada uno de los elemetos homologos de las matrices a sumar. Por ejemplo:
Propiedades de la suma de matrices
* Asociativa
Dadas las matrices m-por-n A , B y C
A + (B + C) = (A + B) + C
* Conmutativa
Dadas las matrices m-por-n A y B
A + B = B + A
* Existencia de matriz cero o matriz nula
A + 0 = 0 + A = A
* Existencia de matriz opuesta
con -A = [-aij]
A + (-A) = 0
Productos con Matrices
Por un Escalar
Dada una matriz A y un número c, el producto escalar cA se calcula multiplicando el escalar c por cada elemento de A (i.e. (cA)[i, j] = cA[i, j] ). Por ejemplo:
Entre Matrices
El producto de dos matrices se puede definir sólo si el número de columnas de la matriz izquierda es el mismo que el número de filas de la matriz derecha. Si A es una matriz m-por-n y B es una matriz n-por-p, entonces su producto matricial AB es la matriz m-por-p (m filas, p columnas) dada por:
para cada par i y j.
Por ejemplo:
El producto de dos matrices no es conmutativo, es decir, AB ≠ BA. La división entre matrices, es decir, la operación que podría producir el cociente A / B, no se encuentra definida. Sin embargo, existe el concepto de matriz inversa, sólo aplicable a las matrices cuadradas.

PROPIEDADES DE LAS DETERMINANTES

TEOREMA 2.2
Sea A una matriz de orden n. Entonces
Si dos filas (o columnas) de una matriz A se intercambian, entonces el signo del determinante cambia.
Si todos los componentes de una fila (o columna) de una matriz A se multiplican por un escalar k, entonces el determinante de la matriz resultante es k veces el determinante de la matriz A.
Si las componentes de una fila (o columna) de una matriz A se multiplican por un escalar k y se le suman a las correspondientes componentes de otra fila (o columna) entonces el determinante no cambia.
En términos de matrices elementales:
a. b. c.
‘’‘ COROLARIO 2.1′’‘
Si una matriz de orden n tiene una fila o una columna que consta solo de ceros, entonces el determinante de la matriz es cero.
DEMOSTRACIÓN.
Sea A una matriz de orden n, como la parte (b) del teorema 2.2 es cierta para k=0, entonces se tiene que el determinante de una matriz que tenga una fila consistiendo sólo de ceros, tiene determinante igual a cero. Para el caso de las columnas, basta proceder de igual forma sobre las filas de , que son las columnas de la matriz.
COROLARIO 2.2
(Determinantes de las matrices elementales de orden n).
a. b. c.
COROLARIO 2.3
Si E una matriz elemental de orden n y A una matriz de orden n, entonces
. DEMOSTRACIÓN.
Sea A una matriz de orden n y E una matriz elemental de orden n. Por el teorema 2.2 y corolario 2.2 se tiene que:
1. Si entonces 2. Si entonces 3. Si entonces
Por inducción matemática, el resultado anterior se puede extender a k matrices elementales
TEOREMA 2.3
Una matriz A de orden n es no singular si y solo si el determinante de A es diferente de cero.
DEMOSTRACIÓN.
Según el teorema 1.13 de la sección 3.2, existen matrices elementales , tales que , donde E es una matriz escalonada reducida y según el corolario 3 de esta sección . Si la matriz A es no singular, entonces E=I y , por tanto . Si la matriz A es singular de orden n, entonces la última fila de E está compuesta de ceros y por tanto , luego .
Pero determinante de es diferente de cero por el corolario 2.2 de esta sección, de donde se concluye que .
TEOREMA 2.4
Si A y B son matrices de orden n, entonces
. DEMOSTRACIÓN.
Si AB es no singular, entonces tanto A como B son no singulares (ejercicio 10 de la sección 15.2) y por el teorema 1.14, literal (d)., se tiene que A es un producto de matrices elementales, es decir, , y aplicando el corolario 2.3 reiteradamente se tiene que . Como , remplazando se obtiene que .




Propiedades de los determinantes
De Wikillerato
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En lo que sigue consideraremos como una matriz cuadrada de orden y una fila y una columna cualesquiera de esa matriz. El determinante de una matriz lo podemos ver como una función de sus filas

o de sus columnas

Las propiedades mas importantes de los determinantes son:
1. El determinante de una matriz cuadrada es igual al determinante de su matriz traspuesta.

2. Si los elementos de una línea o columna de una matriz se multiplican por un número, el determinante de la matriz queda multiplicado por dicho numero:


3. Si todas las lineas de una matriz de orden están multiplicadas por un mismo número el determinante de la matriz queda multiplicado por

4.

\, + \, \makebox{det} \left( \, C_1, \, C_2, \, \ldots, \, C_j^\prime, \, \ldots, \, C_n \, \right) " alt=" \makebox{det} \left( \, C_1, \, C_2, \, \ldots, \, C_j, \, \ldots, \, C_n \, \right) \, + \, \makebox{det} \left( \, C_1, \, C_2, \, \ldots, \, C_j^\prime, \, \ldots, \, C_n \, \right) " src="http://portales.educared.net/wikiEducared/images/math/math-d234a84c8207a1235cc1c062a820819f.png">


5. El determinante del producto de dos matrices cuadradas es igual al producto de los determinantes de ambas matrices:

6. Si en una matriz cuadrada se permutan dos lineas, su determinante cambia de signo:
F_n \, \right) = -\makebox{det} \left( \, F_1, \, F_2, \, \ldots, \, F_j, \, \ldots, \, F_i, \, \ldots, \, F_n \, \right) " alt=" \makebox{det} \left( \, F_1, \, F_2, \, \ldots, \, F_i, \, \ldots, \, F_j, \, \ldots, \, F_n \, \right) = -\makebox{det} \left( \, F_1, \, F_2, \, \ldots, \, F_j, \, \ldots, \, F_i, \, \ldots, \, F_n \, \right) " src="http://portales.educared.net/wikiEducared/images/math/math-a1886a42ed5d24c12b2ea3f5609e4f9e.png">
7. Si una línea de una matriz cuadrada es combinacion lineal de las lineas restantes, es decir, es el resultado de sumar los elementos de otras lineas multiplicadas por números reales, su determinante es cero. Consecuencia inmediata de esta propiedad es que si una matriz tiene una línea de ceros su determinante es cero.
8. Si a los elementos de una línea de una matriz cuadrada se les suma una combinacion lineal de las líneas restantes, su determinante no varia.
El metodo de Chío consiste en hacer cero el mayor número posible de elementos de una línea utilizando las propiedad anterior de los determinantes y posteriormente desarrollar el determinante por los adjuntos de los elementos de esa linea en la que hemos hecho ceros.



1.At= A
El determinante de una matriz A y el de su traspuesta At son iguales.


2. A=0 Si:
Posee dos líneas iguales

Todos los elementos de una línea son nulos.

Los elementos de una línea son combinación lineal de las otras.

F3 = F1 + F2
3. Un determinante triangular es igual al producto de los elementos de la diagonal principal..

4. Si en un determinante se cambian entre sí dos líneas paralelas su determinante cambia de signo.

5. Si a los elementos de una línea se le suman los elementos de otra paralela multiplicados previamente por un nº real el valor del determinante no varía.

6. Si se multiplica un determinante por un número real, queda multiplicado por dicho número cualquier línea, pero sólo una.

7. Si todos los elementos de una fila o columna están formados por dos sumandos, dicho determinante se descompone en la suma de dos determinantes.

8. A·B =A·B
El determinante de un producto es igual al producto de los determinantes.

SEGUNDA UNIDAD