Un vector se dice que es combinación lineal de un conjunto de vectores si existe una forma de expresarlo como suma de parte o todos los vectores de multiplicados cada uno de ellos por un coeficiente escalar , de forma que: . Así, es combinación lineal de vectores de si podemos expresar como una suma de múltiplos de una cantidad finita de elementos de . Ejemplo: 2x + 3y − 2z = 0. Se dice que z es combinación lineal de x y de y, porque podemos escribir sin más que despejar la z. De la misma manera, despejando oportunamente, cada una de estas variables se podría expresar como combinación lineal de las otras dos. En otras palabras, cuánto de cada vector del conjunto necesito para que, cuando se combinen linealmente dichos elementos , pueda formar al vector en cuestión.
En álgebra lineal, se dice que un conjunto ordenado B es base de un espacio vectorial V si se cumplen las siguientes condiciones:Todos los elementos de la base B deben ser linealmente independientes.
Todos los elementos de la base B deben pertenecer al espacio vectorial V.
Todo elemento de V se tiene que poder escribir de manera única como una combinación lineal de los elementos de la base B. De existir múltiples combinaciones de B para un mismo elemento, obtendríamos un sistema generador de V y se perdería el concepto de base (unicidad de cada combinación). Esta última premisa se desprende de la independencia lineal de la base.
Dimensión vectorial [editar]La dimensión de un espacio vectorial se define como el número de elementos o cardinal de una base de dicho espacio. Dado que para todo espacio de Hilbert de dimensión infinita podemos distinguir entre bases de Hilbert y de Hamel, podemos definir la dimensión vectorial ordinaria y la dimensión vectorial de Hilbert. Se tiene que para cualquier espacio vectorial V, la relación entre dimensión de Hammel y dimensión de Hilbert es la siguiente:
(1)
En espacios de dimensión finita también se pueden definir las bases de Hilbert como bases de Hamel ortogonales. De hecho, para un espacio de dimensión finita, la dimensión de Hilbert es igual a la dimensión de Hamel. En dimensión finita toda base de Hamel es base de Hilbert y viceversa, por lo que para un espacio de dimensión finita en (1) se da siempre la igualdad.
